Základy matematiky/Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou nejčastěji řešíme pomocí tzv. nulových bodů.

Rovnice s absolutní hodnotou

Řešené příklady

Příklad 1:

$|x-2|+|2x-8|=5$

Řešení 1:

• Nejdříve si najdeme nulové body. Najdeme je tak, že vynulujeme absolutní hodnotu. V našem případě je okamžitě vidět, že nulové body jsou: {2; 4}. Nulové body nám rozdělí množinu reálných čísel (číselnou osu) na tři intervaly.
• Sestavíme tabulku:
  • Do jednotlivých výrazů v absolutní hodnotě postupně dosadíme čísla z každého intervalu a do odpovídající buňky tabulky zapíšeme jestli byl výsledek kladný nebo záporný.

	$(-\infty ;2)$	${\big (}2;4{\big )}$	$(4;\infty )$
$x-2$	$-$	$+$	$+$
$2x-8$	$-$	$-$	$+$

• Danou rovnici teď budeme řešit v jednotlivých intervalech:

• • $x\in (-\infty ;2)$

${\begin{array}{rcr}-(x-2)-(2x-8)&=&5\\-3x+10&=&5\\-3x&=&-5\\x&=&{\frac {5}{3}}\end{array}}$

Platí, že ${\frac {5}{3}}\in (-\infty ;2)$? Platí. Máme tedy jedno řešení.

• • $x\in (2;4)$

${\begin{array}{rcr}(x-2)-(2x-8)&=&5\\-x+6&=&5\\-x&=&-1\\x&=&1\end{array}}$

Platí, že $1\in (2;4)$? Neplatí. Toto není řešení.

• • $x\in (4;\infty )$

${\begin{array}{rcr}(x-2)+(2x-8)&=&5\\3x-10&=&5\\3x&=&15\\x&=&5\end{array}}$

Platí, že $5\in (4;\infty )$? Platí. Toto je druhé řešení.

Řešení je tedy $x\in \left\{{\frac {5}{3}};5\right\}$