Geometrie/Vzájemná poloha dvou přímek: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m odkazy |
algebraicke vyjadření |
||
Řádek 5:
== V rovině ==
[[Rovnoběžky]] v [[rovina|rovině]] jsou [[přímka|přímky]], které mají stejný směr a nemají žádný společný [[bod]]. Speciálním případem je [[totožnost]]. Dále [[různoběžky]] jsou přímky, které se [[průnik|protínají]] právě v jednom [[bod]]ě – [[průsečík]]u. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.
===Algebraické řešení===
Mějme dvě přímky v rovině dané [[rovnice přímky|rovnicemi]]
:<math>y = k_1 x+q_1</math>
:<math>y = k_2 x+q_2</math>
popř. obecnými rovnicemi
:<math>a_1 x + b_1 y + c_1 = 0</math>
:<math>a_2 x + b_2 y + c_2 = 0</math>
Dvě přímky v rovině jsou [[rovnoběžky|rovnoběžné]], pokud mají stejné [[směrnice]]. Jsou-li tedy dvě přímky zadány směrnicovými rovnicemi, pak podmínka [[rovnob26nost|rovnoběžnosti]] má tvar
:<math>k_1 = k_2</math>
Jsou-li přímky zadány obecnými rovnicemi, pak podmínku rovnoběžnosti lze vyjádřit ve pomocí [[determinant]]u jako
:<math>\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0</math>
Přímky zadané rovnicemi směrnicovými rovnicemi jsou [[kolmost|kolmé]], pokud jejich směrnice splňují podmínku <math>k_1 k_2+1=0</math>, kterou obvykle zapisujeme jako
:<math>k_1 = -\frac{1}{k_2}</math>
Rovnice zadané v obecném tvaru jsou [[kolmost|kolmé]] pokud splňují podmínku
:<math>a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0</math>
Průsečík dvou přímek zadaných směrnicovými rovnicemi získáme řešením této [[soustava rovnic|soustavy]], čímž dostaneme souřadnice průsečíku
:<math>x_P = \frac{q_1-q_2}{k_2-k_1}</math>
:<math>y_P = \frac{q_1 k_2 - q_2 k_1}{k_2-k_1}</math>
Podobně pro průsečík přímek zadaných obecnými rovnicemi dostaneme
:<math>x_P = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}</math>
:<math>y_P = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}</math>
Z předchozích vztahů je vidět, že pokud je splněna podmínka rovnoběžnosti, tak přímky jsou rovnoběžné a nemají tedy průsečík.
Odchylka <math>\varphi</math> dvou [[různoběžky|různoběžných]] přímek zadaných směrnicovými rovnicemi je pro <math>k_1 k_2 \neq -1</math> dána vztahem
:<math>\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}\right|</math>
Jsou-li rovnice zadány obecnými rovnicemi, pak pro odchylku dostáváme
:<math>\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{a_1 b_2 - a_2 b_1}{a_1 a_2 + b_1 b_2}\right|</math>
pro <math>a_1 a_2 + b_1 b_2 \neq 0</math>.
== V prostoru ==
Řádek 10 ⟶ 46:
Poloha přímek v rovině je speciálním případem polohy přímek v prostoru.
===Algebraické řešení===
Dvě přímky zadané obecnými rovnicemi tvoří soustavu
:<math>a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0</math>
:<math>a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0</math>
:<math>a_3 x+b_3 y+c_3 z+d_3=0</math>
:<math>a_4 x+b_4 y+c_4 z+d_4=0</math>
Tyto dvě přímky se protínají v jednom bodě právě tehdy, když platí
:<math>\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{vmatrix} = 0</math>
Máme-li dvě přímky vyjádřené vztahy
:<math>y = m_1 x + q_1</math>
:<math>z = n_1 x + r_1</math>
:<math>y = m_2 x + q_2</math>
:<math>z = n_2 x + r_2</math>
Pak podmínku, aby se tyto přímky proťaly lze zapsat
:<math>\frac{q_1-q_2}{r_1-r_2} = \frac{m_1-m_2}{n_1-n_2}</math>
Pro souřadnice průsečíku pak platí
:<math>x_P = \frac{q_2-q_1}{m_1-m_2} = \frac{r_2-r_1}{n_1-n_2}</math>
:<math>y_P = \frac{m_1 q_2-m_2 q_1}{m_1-m_2}</math>
:<math>z_P = \frac{n_1 r_2-n_2 r_1}{n_1-n_2}</math>
Pokud se takové přímky protínají, pak jejich odchylku <math>\varphi</math> určíme jako
:<math>\cos\varphi = \frac{\left|1+m_1 m_2 + n_1 n_2\right|}{\sqrt{(1+m_1^2+n_1^2)(1+m_2^2+n_2^2)}}</math>
Podmínku [[rovnoběžnost]]i přímek lze pak vyjádřit jednoduchými vztahy <math>m_1=m_2</math> a <math>n_1=n_2</math>. Přímky jsou [[kolmost|kolmé]], je-li splněna podmínka <math>1+m_1 m_2+n_1 n_2=0</math>.
Mějme přímky vyjádřeny rovnicemi
:<math>\frac{x-x_1}{\cos\alpha_1} = \frac{y-y_1}{\cos\beta_1} = \frac{z-z_1}{\cos\gamma_1}</math>
:<math>\frac{x-x_2}{\cos\alpha_2} = \frac{y-y_2}{\cos\beta_2} = \frac{z-z_2}{\cos\gamma_2}</math>
Odchylka těchto přímek se určí jako
:<math>\cos\varphi = \cos\alpha_1\cos\alpha_2+\cos\beta_1\cos\beta_2+\cos\gamma_1\cos\gamma_2</math>
Podmínku [[rovnoběžnost]]i takovýchto přímek lze zapsat rovnicemi <math>\cos\alpha_1=\cos\alpha_2, \cos\beta_1=\cos\beta_2, \cos\gamma_1=\cos\gamma_2</math>. Podmínku [[kolmost]]i lze vyjádřit jako <math>\cos\alpha_1\cos\alpha_2+\cos\beta_1\cos\beta_2+\cos\gamma_1\cos\gamma_2=0</math>.
[[Vzdálenost]] <math>\delta</math> dvou [[mimoběžky|mimoběžných]] přímek udává vztah
:<math>\delta = \left|\frac{\begin{vmatrix} x_1-x_2 & y_1-y_2 & z_1-z_2 \\ \cos\alpha_1 & \cos\beta_1 & \cos\gamma_1 \\ \cos\alpha_2 & \cos\beta_2 & \cos\gamma_2 \end{vmatrix}}{\sqrt{{\begin{vmatrix} \cos\beta_1 & \cos\gamma_1 \\ \cos\beta_2 & \cos\gamma_2 \end{vmatrix}}^2 + {\begin{vmatrix} \cos\gamma_1 & \cos\alpha_1 \\ \cos\gamma_2 & \cos\alpha_2 \end{vmatrix}}^2 + {\begin{vmatrix} \cos\alpha_1 & \cos\beta_1 \\ \cos\alpha_2 & \cos\beta_2 \end{vmatrix}}^2}}\right|</math>
==Podívejte se také na==
| |||