Verze z 3. 10. 2010, 21:12 editovat Petr74 (diskuse \| příspěvky) 13 editací Bez shrnutí editace ← Porovnání se starší verzí		Verze z 4. 10. 2010, 19:18 editovat zrušit editaci Petr74 (diskuse \| příspěvky) 13 editací Bez shrnutí editace Porovnání s novější verzí →
Řádek 27: :<math>\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}.</math> ==== Důkaz ==== :<math>\begin{array}[t]{rcl}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'&=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}= \\ &=& \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)}=~~</math>~~ \\ ~~<math>~~&=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{g(x)\cdot g(x+h)}\cdot\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x+h)\cdot g(x+h)+f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}=~~</math>~~ \\ ~~<math>~~&=&\frac{1}{g^2(x)}\cdot\left(\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}-\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x+h)\cdot g(x)}{h}\right)= \\ &=& \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}\end{array}</math>. == Derivace složené funkce == Řádek 35 ⟶ 37: :<math>(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x).</math> ==== Důkaz ==== Položme <math>y:=g(x)</math>, <math>k:=g(x+h)-g(x)</math>. :<math>\begin{array}[t]{rcl}(f(g(x)))'&=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}= \\ &=& \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}= \\ &=& \lim\limits_{k\rightarrow 0}\frac{f(y+k)-f(y)}{k}\cdot g'(x)= \\ &=& f'(y)\cdot g'(x)= \\ &=& f'(g(x))\cdot g'(x)\end{array}</math> == Derivace inverzní funkce == Řádek 41 ⟶ 48: :<math>f'(x)=\frac{1}{g'(y)}.</math> ==== Důkaz ==== :<math>f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{y\rightarrow y_0}\frac{y-y_0}{g(y)-g(y_0)}=\frac{1}{\lim\limits_{y\rightarrow y_0}\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}}=\frac{1}{g'(y_0)}</math>. == Vzorce pro derivování elementárních funkcí == Řádek 48 ⟶ 55: Je-li <math>f(x)=c</math>, kde <math>c\in\mathbb{R}</math>, pak <math>f'(x)=0</math>. ==== Důkaz ==== :<math>f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{c-c}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h}=0</math>. === Mocninná funkce === Je-li <math>f(x)=x^n</math>, kde <math>n\in\mathbb{N}</math> pak <math>f'(x)=n\cdot x^{n-1}</math>. ==== Důkaz ==== :<math>\begin{array}[t]{rcl}f'(x) &=& \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{x^n+\begin{pmatrix}n\\ 1\end{pmatrix}x^{n-1}h+\ldots+\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}x^{n-k}h^k+\ldots+h^n-x^n}{h}=~~</math>~~ \\ ~~<math>~~&=& \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\begin{pmatrix}n\\ 1\end{pmatrix}x^{n-1}h+\ldots+\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}x^{n-k}h^k+\ldots+h^n}{h}=n\cdot x^{n-1}\end{array}</math>. === Funkce sinus ===

Wikiknihy:Pískoviště: Porovnání verzí