Geometrie/Bézierova křivka

Bézierova křivka, nesprávným pravopisem Beziérova křivka, je další metodou vytváření křivek. Tato metoda umožňuje interaktivní vytváření a modifikaci křivek. Pomocí této metody můžete rovněž datově reprezentovat i interpolační křivky (existují například algoritmy na převod mezi interpolačními spline kubikami a B-spline kubikami resp. Bézier kubikami).

Vyjádření

Bézierova křivka stupně n je určena rovnicí:

$P(u)=\sum _{i=0}^{n}P_{i}B_{i}^{n}(u),$

kde:

$u\in <0,1>$,

$P_{i}$ jsou polohové vektory vrcholů řídícího polynomu (tzv. Bézierovy body)

$B_{i}^{n}(u)$ jsou tzv. Bernsteinovy polynomy n-tého stupně,

pro které platí:

$B_{i}^{n}(u)={n \choose i}u^{i}(1-u)^{n-i},i=0,1,...n$

Vlastnosti

Nezáporná hodnota

$B_{i}^{n}(u)\geq 0$ pro všechny hodnoty $i=0,...,n$ a pro všechna $u\in <0,1>$. Tato vlastnost plyne z toho, že pro $u\in <0,1>$ jsou všechny součinitele v definici Bézierových polynomů nezáporné.

Jednotkový součet

$\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(u)=1$ pro všechny hodnoty $u\in <0,1>$

Plyne přímo z binomické věty. Platí totiž:

$1=(u+(1-u))^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}u^{i}(1-u)^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(u)$

Koncové podmínky

$B_{o}^{n}(0)=B_{n}^{n}(1)=1$

Maximum

$B_{i}^{n}(u)$ nabývá právě jednoho maxima na $u\in <0,1>$, a to pro $u={i \over n}$

Symetrie

Pro libovolné n je množina polynomů $B_{i}^{n}(u)$ symetrická podle $u={1 \over 2}$

Rekurentní vztah

$B_{i}^{n}(u)=(1-u)\cdot B_{i}^{n-i}(u)+u\cdot B_{i-1}^{n-i}(u)$

a:

$B_{0}^{0}(u)=1$

Rekurentní vztah vyplývá ze vztahu pro kombinační čísla:

${n \choose i}={(n-1) \choose i}+{(n-1) \choose (i-1)}$

Derivace

${dB_{i}^{n}(u) \over du}=n(B_{i-1}^{n-i}(u)-B_{i}^{n-i}(u))$

Algoritmizace

Factorial(int a)

Pomocná metoda pro výpočet faktoriálu pro kombinační číslo.

int Factorial(int a)
 {
  if (a==0) return 1;
  else
   return (a* Factorial(a-1));
 }

Combin(int a, int b)

Pomocná metoda pro výpočet kombinačního čísla pro výpočet bodů Bernsteinova polynomu.

public int Combin(int a, int b)
 {
  return Factorial(a)/(Factorial(a-b)*Factorial(b));
 }

BernsteinPolynom(int k,int i,double t)

Metoda pro výpočet bodů polynomu.

public double BernsteinPolynom(int k,int i,double t)
 {
  return Combin(k,i)*Math.Pow(t,i)*Math.Pow(1-t,k-i);
 }

Vector GetPoint(double t)

Přetěžovaná metoda třídy Curve. V zadaném parametru vrátí polohový vektor bodu na křivce.

public override Vector GetPoint(double t)
 {
  Vector ret = new Vector();
  Vector v;
  for (int i = 0;i<ctrlPoly.Count;i++)
  {
   v = ((RichPoint)ctrlPoly[i]).Locate;
   ret = ret + BernsteinPolynom(ctrlPoly.Count-1,i,nt)*v;
  }
  return ret;
 }

RichPoint CreateRichPoint()

Přetěžovaná metoda třídy Curve. Vytvoření řídícího bodu pro křivku. Oproti rodiči má navíc rozšíření o váhový koeficient.

public override RichPoint CreateRichPoint()
 {
  double w = ((RichPoint) ctrlPoly[0]).T;			
  for (int q=0; q<ctrlPoly.Count;q++) 
  {
   if (((RichPoint) ctrlPoly[q]).T>w) w=((RichPoint) ctrlPoly[q]).T;				
  }
  RichPoint tw = new RichPoint(new Vector(), w+0.1);
  return tw;
 }

Externí odkazy

• Encyklopedický článek Bézierova křivka ve Wikipedii
• Obecné Bézierovy křivky CZ
• Living Math Bézier applet EN

Autoři

Tento text vypracovali studenti Univerzity Palackého v Olomouci katedry Matematické informatiky jako zápočtový úkol do předmětu Počítačová geometrie.