Geometrie/Přímka a vektor

Přímka, vektor

Přímka

Přímka je jednorozměrný geometrický útvar. Jde o množinu bodů, bližší (geometrická) definice nebyla stanovena. Je to trajektorie fotonu neovlivněného gravitací. Přímka se znázorňuje rovnou čarou, označuje se malým písmenem.
Znázornění:

Vektor

Vektorem nazýváme množinu všech souhlasně orientovaných úseček téže velikosti, každou z těchto úseček nazýváme umístěním daného vektoru. Vektor se značí většinou malým písmenem s šipkou, která určuje jeho orientaci, tučným písmem, nebo jako rozdíl dvou souřadnic (B-A).

Opačný vektor

Opačný vektor je takový vektor, který má opačný směr, než vektor původní.
u=>opačný=-u

Vektory v prostoru

Vektor má v 3 rozměrném prostoru 3 souřadnice: x-ovou, y-ovou, z-ovou. Jednotlivé souřadnice se vypočtou jako rozdíl souřadnice počátečního bodu od koncového.
A=[x₁,y₁,z₁] -bod X
B=[x₂,y₂,z₂] -bod Y
u=AB
u_x=x₂-x₁ -výpočet x-ové souřadnice vektoru AB
u_y=y₂-y₁ -výpočet y-ové souřadnice vektoru AB
u_z=z₂-z₁ -výpočet z-ové souřadnice vektoru AB
AB=u(u_x,u_y,u_z) -zápis vektoru AB jakožto vektoru u se souřadnicemi u_x,u_y,u_z

Přímka v Analytické geometrii

Přímku v analytické geometrii můžeme zapsat mnoha způsoby.

Parametrická rovnice přimky

x = A + s*t

1) určíme směrový vektor

  Sp= B-A = (s1,s2,s3) - s3(prostorová souřadnice)

2) vybereme si libovolný bod, který leží na přímce

   např.bod A;

3) zapíšeme parametrická tvar přímky

         x=A1 + s1*t;

         y=A2 + s2*t;

   --pokud pracujeme v prostoru a máme třetí souřadnici pak--

         z=A3 + s3*t; t € R

směrový vektor - určuje směr přímky
t je parametr
s₁,s₂,s₃ - jsou souřadnice směrového vektoru
A₁,A₂,A₃ - jsou souřadnice bodu ležícího na přímce

Parametrická rovnice přímky je nám velice prospěšná jelikož z ní velice jednoduše vyčteme směrový vektor přímky. Když se nad tím zamyslíme a uvědomíme si její definici, nebude složité vytvořit této přímce rovnoběžky.Jedoduše místo souřadnic bodu A, dosadíme jiné souřadnice. S parametrickou rovnicí přímky můžeme vypočítat mnohé věci...jak průsečík dvou přímek, tak průsečík přímky s rovinou a mnohá další.

Obecná rovnice přimky
!ČASTO SE MYLNĚ UVÁDÍ ŽE OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY V PROSTORU NEEXISTUJE
ZDE JE PŘÍKLAD OBECNÉ ROVNICE PŘÍMKY V PROSTORU: x^2+5y+z^2+2x-2y-2xy+4yz+1=0 Obecný tvar:

$ax+by+c=0$  

(a,b) - souřadnice normálového vektoru v rovině = n_p - !! Normálový vektor je kolmý na směrový vektor !!
x,y - souřadnice bodu ležícího na přímce

pro příklad máme třeba bod A[1,3] a směrový vektor přímky (2,3)

Sestavení obecné rovnice:

1)určíme si směrový vektor přímky
2)převedeme ho na normálový vektor
     Sp(a,b) == Np(-b,a) 

3)do rovnice 

 $-3x+2y+c=0$
 
dosadíme souřadnice bodu A

-3*1 + 2*3 + c =0

    -3 + 6 + c =0
             c =-3
4) napíšeme obecnou rovnici přímky
   -3x + 2y -3 =0

Úseková rovnice přímky
Tato rovnice je velice praktická, jelikož z ní můžeme ihned vyčíst, kde se přímka protína s osou X a Y.
Její obecný tvar je :

$(x/p)+(y/q)=1$

Úsekovou rovnici přímky vytvoříme poměrně snadno.Např. z obecné rovnice.Na pravé straně musíme získat číslo 1
Příklad:

obec. rce. : 2x + 4y - 5=0 

$2x+4y=5/:5$

$(2/5)x+(4/5)y=1$

$x/(5/2)+y/(5/4)=1$

Z tohoto krátkého a jednoduchého příkladu vyplývá, že přímka bude protínat osu X v bodě 5/2 a osu Y v bodě 5/4
Směrnicová rovnice přímky
k - směrnice
x,y - souřadnice
q - posunutí
a,b,c - souřadnice normálového vektoru

Obecný tvar:

$y=kx+q$

k=-a/b
q=-c/b

k=tg φ ; tg φ = k/1