Logika/Implikace
Tato stránka je optimalizovaná pro zobrazení fontem STIX.
Když prší, je mokro
editovatNyní se budeme zabývat souvětími se spojkou „když“. Tento vztah nazýváme implikace a značíme šipkou ⇒. Příkladem takového souvětí je: „Když prší, je mokro.“ Toto souvětí se skládá z věty „Prší“ a věty „Je mokro“. Význam souvětí je takový, že z toho, že prší, plyne, že je mokro. Zkusme to zapsat do pravdivostní tabulky.
𝑝 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙸 | Prší |
---|---|---|---|---|---|
𝑞 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | Je mokro |
𝑝⇒𝑞 | 𝙸 | ? | 𝙾 | 𝙸 | Když prší, je mokro |
V případě, že prší a je mokro, je implikace, dle očekávání, pravdivá (4. sloupec tabulky). Také v případě, že neprší a není mokro, je implikace pravdivá. V případě, že by pršelo a nebylo mokro, je implikace lež. Co však s implikací v případě, že neprší a je mokro? Tuto situaci vystihuje druhý sloupec tabulky otazníkem. Co dosadit za otazník? Jedničku, nebo nulu?
Tím dostáváme dvě různé spojky podobně jako v případě spojky „nebo“. Ta s jedničkou je implikace, ta s nulou ekvivalence, kterou budeme značit ⇔.
Pravdivostní tabulka implikace a ekvivalence
editovat𝑝 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙸 | Prší |
---|---|---|---|---|---|
𝑞 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | Je mokro |
𝑝⇒𝑞 | 𝙸 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | Když prší, je mokro |
𝑝⇔𝑞 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙸 | Prší ⇔ je mokro |
Vlastnosti implikace
editovatJe implikace komutativní?
editovatČili jsou věty „Když prší, je mokro“ a „Když je mokro, prší“ stejné co do pravdivosti? Odpověď nalezneme v pravdivostní tabulce.
𝑝 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙸 | Prší |
---|---|---|---|---|---|
𝑞 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | Je mokro |
𝑝⇒𝑞 | 𝙸 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | Když prší, je mokro |
𝑞⇒𝑝 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙸 | Když je mokro, prší |
Vidíme, že se hodnoty v druhém a třetím sloupci liší. Implikace tedy není komutativní.
Směr šipky můžeme i otočit
editovat𝑝 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙸 | Prší |
---|---|---|---|---|---|
𝑞 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | Je mokro |
𝑞⇒𝑝 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙸 | Když je mokro, prší |
𝑝⇐𝑞 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙸 | Prší, když je mokro |
Konjunkce implikací
editovatCo se stane, když spojíme dvě implikace spojkou „a“? Čili souvětí typu (𝑝⇒𝑞)∧(𝑝⇐𝑞). Např. „Když prší, je mokro a prší, když je mokro.“
𝑝 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙸 | Prší |
---|---|---|---|---|---|
𝑞 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | Je mokro |
𝑝⇒𝑞 | 𝙸 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | Když prší, je mokro |
𝑝⇐𝑞 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙸 | Prší, když je mokro |
(𝑝⇒𝑞)∧(𝑝⇐𝑞) | 𝙸 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙸 | Když prší, je mokro a prší, když je mokro |
𝑝⇔𝑞 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙸 | Prší právě tehdy, když je mokro |
A vida, dostali jsme ekvivalenci! Šipka tam ⇒ a zase zpátky ⇐ je šipka na obě strany ⇔.
Pokračujme tedy zkoumáním ekvivalence.