Matematická analýza/Derivace elementárních funkcí

Derivace součtu a rozdílu funkcí

Nechť $f,g\in C^{1}(\mathbb {R} )$. Pak

$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x).$

Důkaz:

$(f(x)\pm g(x))'=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)\pm g(x+h)-f(x)\mp g(x)}{h}}=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\pm \lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=f'(x)\pm g'(x)$.

Derivace součinu konstanty a funkce

Nechť $f\in C^{1}(\mathbb {R} )$, $c\in \mathbb {R}$. Pak

$(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x).$

Důkaz:

$(c\cdot f(x))'=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {c\cdot f(x+h)-c\cdot f(x)}{h}}=c\cdot \lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=c\cdot f'(x)$.

Derivace součinu funkcí

Nechť $f\in C^{1}(\mathbb {R} )$. Pak

$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).$

Důkaz:

${\begin{array}{rcl}(f(x)\cdot g(x))'&=&\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}}=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)+f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}}=\\&=&\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}}+\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}}=\\&=&\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot \lim \limits _{h\rightarrow 0}g(x+h)+f(x)\cdot \lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\end{array}}$.

Derivace podílu funkcí

Nechť $f,g\in C^{1}(\mathbb {R} )$. Pak

$\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}}.$

Důkaz

${\begin{array}{rcl}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'&=&\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{h}}=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)}}=\\&=&\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{g(x)\cdot g(x+h)}}\cdot \lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x+h)\cdot g(x+h)+f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}}=\\&=&{\frac {1}{g^{2}(x)}}\cdot \left(\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}}-\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x+h)\cdot g(x)}{h}}\right)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}}\end{array}}$.

Derivace složené funkce

Nechť $f,g\in C^{1}(\mathbb {R} )$. Pak

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x).$

Důkaz

Položme $y:=g(x)$, $k:=g(x+h)-g(x)$.

${\begin{array}{rcl}(f(g(x)))'&=&\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}}\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=\\&=&\lim \limits _{k\rightarrow 0}{\frac {f(y+k)-f(y)}{k}}\cdot g'(x)=f'(y)\cdot g'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\end{array}}$

Derivace inverzní funkce

Nechť $f,g\in C^{1}(\mathbb {R} )$ takové, že $f(g(x))={\mbox{id}}_{D(g)}$ a $g(f(x))={\mbox{id}}_{D(f)}$. Označíme-li si $f(x)=y$ a $g(y)=x$, pak

$f'(x)={\frac {1}{g'(y)}}.$

Důkaz

$f'(x_{0})=\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{y\rightarrow y_{0}}{\frac {y-y_{0}}{g(y)-g(y_{0})}}={\frac {1}{\lim \limits _{y\rightarrow y_{0}}{\frac {g(y)-g(y_{0})}{y-y_{0}}}}}={\frac {1}{g'(y_{0})}}$.

Vzorce pro derivování elementárních funkcí

Konstantní funkce

Je-li $f(x)=c$, kde $c\in \mathbb {R}$, pak

$f'(x)=0$.

Důkaz

$f'(x)=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {c-c}{h}}=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {0}{h}}=0$.

Mocninná funkce

Je-li $f(x)=x^{n}$, kde $n\in \mathbb {N}$ pak

$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$.

Důkaz

${\begin{array}{rcl}f'(x)&=&\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{n}+{\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}}x^{n-1}h+\ldots +{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x^{n-k}h^{k}+\ldots +h^{n}-x^{n}}{h}}=\\&=&\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {{\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}}x^{n-1}h+\ldots +{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x^{n-k}h^{k}+\ldots +h^{n}}{h}}=n\cdot x^{n-1}\end{array}}$.

Funkce sinus

Je-li $f(x)=\sin x$, pak

$f'(x)=\cos x$.

Důkaz

$f'(x)=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos x\cdot \sin h+\sin x\cdot \cos h-\sin x}{h}}=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos x\cdot \sin h}{h}}=\cos x$.

Funkce kosinus

Je-li $f(x)=\cos x$, pak

$f'(x)=-\sin x$.

Důkaz

$f'(x)=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos x\cdot \cos h-\sin x\cdot \sin h-\cos x}{h}}=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {-\sin x\cdot \sin h}{h}}=-\sin x$.

Funkce tangens a kotangens

Je-li $f(x)=\mathop {\rm {tg\ }} x$ a $g(x)=\mathop {\rm {cotg\ }} x$, pak

$f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$ a

$g'(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$.

Důkaz

Přímou aplikací pravidla pro derivaci podílu ihned plyne tvrzení. Například

$(\mathop {\rm {tg\ }} x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$.

Funkce arkus sinus a arkus kosinus

Je-li $f(x)=\arcsin x$ a $g(x)=\arccos x$, pak

$f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ a

$g'(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Důkaz

Označíme-li si $\arcsin x=y$, pak $x=\sin y$. Přímou aplikací pravidla pro derivaci inverzní funkce dostaneme:

$(\arcsin x)'={\frac {1}{(\sin y)'}}={\frac {1}{\cos y}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Analogicky pro $\arccos x$.

Funkce arkus tangens a arkus kotangens

Je-li $f(x)=\mathop {\rm {arctg}} x$ a $g(x)=\mathop {\rm {arccotg}} x$, pak

$f'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ a

$g'(x)=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$.

Důkaz

Zcela analogicky předchozím.

Exponenciální funkce

Je-li $f(x)=e^{x}$, pak

$f'(x)=e^{x}$.

Důkaz

$f'(x)=\lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\cdot \lim \limits _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}$. Protože $\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n+1}\leq e\leq \left(1+{\frac {1}{n-1}}\right)^{n}$, platí pro všechna $h\in \mathbb {R} ^{+}$ $\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{(n+1)h}\leq e^{h}\leq \left(1+{\frac {1}{n-1}}\right)^{nh}$. Nechť $0<h<1$. Zvolme $n\in \mathbb {N}$ takové, aby platilo $n\leq {\frac {1}{h}}<n+1$, tedy ${\frac {1}{n+1}}<h\leq {\frac {1}{n}}$. Pak ale dostáváme: $1+{\frac {1}{n+1}}\leq \left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{(n+1)h}\leq e^{h}\leq \left(1+{\frac {1}{n-1}}\right)^{nh}\leq 1+{\frac {1}{n-1}}$, tedy ${\frac {1}{n+1}}\leq e^{h}-1\leq {\frac {1}{n-1}}$. Vynásobením celé nerovnice ${\frac {1}{h}}$ dostaváme: ${\frac {\frac {1}{h}}{n+1}}\leq {\frac {e^{h}-1}{h}}\leq {\frac {\frac {1}{h}}{n-1}}$ a po úprávách máme $1-{\frac {1}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}\leq {\frac {\frac {1}{h}}{n+1}}\leq {\frac {e^{h}-1}{h}}\leq {\frac {\frac {1}{h}}{n-1}}\leq {\frac {n+1}{n-1}}=1+{\frac {2}{n-1}}$. Limitním přechodem pro $n\rightarrow \infty$, resp. $h\rightarrow 0_{+}$ dostáváme $\lim \limits _{h\rightarrow 0_{+}}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1$. Obdobně by se to dokázalo pro $h\in \mathbb {R} ^{-}$, a tedy celkem dostáváme tvrzení.

Funkce přirozený logaritmus

Je-li $f(x)=\ln x$, pak $f'(x)={\frac {1}{x}}$.

Důkaz

(ln e(x))' = 1/(x*ln (e)) Zcela analogicky předchozím důkazům pro derivaci inverzních funkcí.