Wikiknihy:Pískoviště: Porovnání verzí

Je-li <math>f(x)=x^n</math>, kde <math>n\in\mathbb{N}</math> pak <math>f'(x)=n\cdot x^{n-1}</math>.

<math>f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{x^n+\left(begin{pmatrix}n\atop\ 1\right)end{pmatrix}x^{n-1}h+\ldots+\left(begin{pmatrix}n\atop\ k\right)end{pmatrix}x^{n-k}h^k+\ldots+h^n-x^n}{h}=</math>

<math>=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\left(begin{pmatrix}n\atop\ 1\right)end{pmatrix}x^{n-1}h+\ldots+\left(begin{pmatrix}n\atop\ k\right)end{pmatrix}x^{n-k}h^k+\ldots+h^n}{h}=n\cdot x^{n-1}</math>.

Je-li <math>f(x)=\mathop{\rm tg} x</math> a <math>g(x)=\mathop{\rm cotg} x</math>, pak <math>f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}</math> a <math>g'(x)=-\frac{1}{\sin^2x}</math>.

Přímou aplikací pravidla pro derivaci podílu ihned plyne tvrzení. Například <math>(\mathop{\rm tg} x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}</math>.

Je-li <math>f(x)=\mathop{\rm arctg} x</math> a <math>g(x)=\mathop{\rm arccotg} x</math>, pak <math>f'(x)=\frac{1}{1+x^2}</math> a <math>g'(x)=-\frac{1}{1+x^2}</math>.