Wikiknihy

Wikiknihy:Pískoviště: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Porovnání se starší verzíPorovnání s novější verzí →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
Petr74 (diskuse | příspěvky)
13 editací
Bez shrnutí editace
Petr74 (diskuse | příspěvky)
13 editací
Bez shrnutí editace
Řádek 1:
{{/Tento řádek neměňte/}}
 
<table id="toc" class="toc">
<tr>
<td>
<div id="toctitle">
== Obsah ==
</div>
<ul>
<li class="toclevel-1 tocsection-1"><span class="toctext">Derivace součtu a rozdílu funkcí</span></li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
 
== Derivace součtu a rozdílu funkcí ==
Řádek 83 ⟶ 70:
==== Důkaz ====
Přímou aplikací pravidla pro derivaci podílu ihned plyne tvrzení. Například <math>(\mathop{\rm tg} x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}</math>.
 
=== Funkce arkus sinuas a arkus kosinus ===
Je-li <math>f(x)=\arcsin x</math> a <math>g(x)=\arccos x</math>, pak <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> a <math>g'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>.
==== Důkaz ====
Označíme-li si <math>\arcsin x=y</math>, pak <math>x=\sin y</math>. Přímou aplikací pravidla pro derivaci inverzní funkce dostaneme: <math>(\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>. Analogicky pro <math>\arccos x</math>.
 
=== Funkce arkus tangens a arkus kotangens ===
Je-li <math>f(x)=\mathop{\rm arctg} x</math> a <math>g(x)=\mathop{\rm arccotg} x</math>, pak <math>f'(x)=\frac{1}{1+x^2}</math> a <math>g'(x)=-\frac{1}{1+x^2}</math>.
==== Důkaz ====
Zcela analogicky předchozím.
 
=== Exponenciální funkce ===
Je-li <math>f(x)=e^x</math>, pak <math>f'(x)=e^x</math>.
==== Důkaz ====
<math>f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\cdot\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1}{h}</math>. Protože <math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\leq e\leq\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n</math>, platí pro všechna <math>h\in\mathbb{R}^+</math> <math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)h}\leq e^h\leq\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{nh}</math>. Nechť <math>0<h<1</math>. Zvolme <math>n\in\N</math> takové, aby platilo <math>n\leq\frac{1}{h}<n+1</math>, tedy <math>\frac{1}{n+1}<h\leq\frac{1}{n}</math>. Pak ale dostáváme: <math>1+\frac{1}{n+1}\leq\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)h}\leq e^h\leq\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{nh}\leq 1+\frac{1}{n-1}</math>, tedy <math>\frac{1}{n+1}\leq e^h-1\leq \frac{1}{n-1}</math>. Vynásobením celé nerovnice <math>\frac{1}{h}</math> dostaváme: <math>\frac{\frac{1}{h}}{n+1}\leq \frac{e^h-1}{h}\leq \frac{\frac{1}{h}}{n-1}</math> a po úprávách máme <math>1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\leq\frac{\frac{1}{h}}{n+1}\leq \frac{e^h-1}{h}\leq \frac{\frac{1}{h}}{n-1}\leq\frac{n+1}{n-1}=1+\frac{2}{n-1}</math>. Limitním přechodem pro <math>n\rightarrow\infty</math>, resp. <math>h\rightarrow 0_+</math> dostáváme <math>\lim\limits_{h\rightarrow 0_+}\frac{e^h-1}{h}=1</math>. Obdobně by se to dokázalo pro <math>h\in\mathbb{R}^-</math>, a tedy celkem dostáváme tvrzení.
 
=== Funkce přirozený logaritmus ===
Je-li <math>f(x)=\ln x</math>, pak <math>f'(x)=\frac{1}{x}</math>.
==== Důkaz ====
Zcela analogicky předchozím důkazům pro derivaci inerzních funkcí.
Citováno z „https://cs.wikibooks.org/wiki/Wikiknihy:Pískoviště“