Stručné shrnutí variačního počtu

Tento článek má stručně shrnout variační počet tak, aby si je člověk, který jej již někdy používal mohl připomenout, nebo člověk, který se jej učí odjinud, utřídit. Článek se záměrně vyhýbá příliš formálnímu zavedení a soustředí se spíše na praktické použití variačního počtu.

Zavedení veličin

Variace funkcionálu S (tedy zobrazení z dostatečně hladkých funkcí s příslušnou podmínkou na hranici do reálných nebo komplexních čísel), kterou značíme jako δ S nebo δ S / δ φ(x) je taková distribuce, která pro všechny testovací funkce f splňuje:

$\left\langle \delta S[\phi ],f\right\rangle =\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}S[\phi +\varepsilon f]\right|_{\varepsilon =0}$

Zvláštní význam přitom hrají funkcionály ve tvaru:

$S[\phi ]=\int _{a}^{b}{F\left({\vec {x}},\phi ({\vec {x}}),\phi '({\vec {x}}),\dots ,\phi ^{(n)}({\vec {x}})\right)}\,\mathrm {d} {\vec {x}},$

pro které lze následujícím postupem snadno převést problém hledání nulové variace na řešení Euler-Lagrangeovy rovnice.

Odvození Euler-Lagrangeovy rovnice

Při pevných integračních mezích

Předpokládejme nyní, že hledáme řešení problému

$\delta S[\phi ]=0\,$

a že S má integrální tvar výše. Pro jednoduchost nyní předpokládejme, že $x$ je jen jednorozměrná proměnná x. Připouštíme malé změny funkce φ(x) značené jako δφ(x) (o nichž předpokládáme, že jsou příslušně hladké), které indukují i příslušné změny jejích derivací. Navíc předpokládáme, že řešíme tzv. úlohu s pevnými konci, tedy, že ať už je variace δφ(x) jakákoliv, platí δφ(a) = δφ(b) = 0.

Jelikož jsou δφ(x) dostatečně hladké, můžeme prohazovat variaci s integrálem a s derivací. (Což plyne např. z faktu, že variace je definována pomocí derivace a limity, které jsou při dostatečné hladkosti funkcí záměnné.) Proto tedy

$0=\delta S[\phi ]=\int _{a}^{b}\delta {F\left(x,\phi (x),\phi '(x),\dots ,\phi ^{(n)}(x)\right)}\,\mathrm {d} x=\,$

$=\int _{a}^{b}{F\left(x,\phi +\delta \phi ,\left(\phi +\delta \phi \right)',\dots ,\left(\phi +\delta \phi \right)^{(n)}\right)-F\left(x,\phi ,\phi ',\dots ,\phi ^{(n)}\right)}\,\mathrm {d} x=\,$

$=\int _{a}^{b}{{\frac {\partial F}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial F}{\partial \phi '}}(\delta \phi )'+\dots +{\frac {\partial F}{\partial \phi '}}(\delta \phi )^{(n)}}\,\mathrm {d} x$

V posledním kroku jsme využili faktu, že změny v argumentech funkce F jsou malé a tedy můžeme výraz rozvinout v Taylorův rozvoj. Nyní integrál napíšeme jako součet integrálů dílčích členů.

$=\int _{a}^{b}{\frac {\partial F}{\partial \phi }}\delta \phi \,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}{\frac {\partial F}{\partial \phi '}}(\delta \phi )'\,\mathrm {d} x+\dots +\int _{a}^{b}{\frac {\partial F}{\partial \phi '}}(\delta \phi )^{(n)}\,\mathrm {d} x$

Neumíme sice explicitně vyjádřit derivace δφ, ale můžeme derivace odstranit pomocí per partes. Následně využijeme toho, že jde o řešení úlohy s pevnými okraji, což znamená, že tzv. povrchový člen $[\dots ]_{a}^{b}$ vymizí. Derivace δφ vyšších řádů odstraníme analogicky několikanásobným per partes - v dalším odvození členy vyšších řádů vynecháváme.

$\delta S[\phi ]=\int _{a}^{b}{\frac {\partial F}{\partial \phi }}\delta \phi \,\mathrm {d} x+\left[{\frac {\partial F}{\partial \phi '}}\delta \phi \right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial \phi '}}\delta \phi \,\mathrm {d} x+\dots =$

$=\int _{a}^{b}{\frac {\partial F}{\partial \phi }}\delta \phi \,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial \phi '}}\delta \phi \,\mathrm {d} x+\dots =$

$=\int _{a}^{b}{\left({\frac {\partial F}{\partial \phi }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial \phi '}}+\dots \right)\delta \phi }\,\mathrm {d} x$

Má-li tento integrál být nulový pro libovolnou hladkou variaci δφ, pak musí platit

${\frac {\partial F}{\partial \phi }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial \phi '}}+\dots =0,$

což je znění Euler-Lagrangeovy rovnice.

Při proměnlivých integračních mezích

Připustíme-li navíc variaci v horní a dolní mezi (což odpovídá infinitesimálnímu posunu krajních bodů), má variace funkcionálu tvar:

$\delta S[\phi ]=\int _{a+\delta a}^{b+\delta b}{F\left(x,\phi (x)+\delta \phi (x),\phi '(x)+\delta \phi '(x)\right)}\,\mathrm {d} x\,-\int _{a}^{b}{F\left(x,\phi (x),\phi '(x)\right)}\,\mathrm {d} x\,$

(Variaci funkce uvnitř explicitně rozepisujeme, protože zde nemá tak jasný tvar jako výše. Odvození rozepíšeme pro derivace prvního řádu v φ, vyšší se odvodí analogicky.)

$\delta S[\phi ]=\int _{a}^{b}{F\left(x,\phi (x)+\delta \phi (x),\phi '(x)+\delta \phi '(x)\right)}\,-{F\left(x,\phi (x),\phi '(x)\right)}\,\mathrm {d} x\,+\,$

$\int _{b}^{b+\delta b}{F\left(x,\phi (x)+\delta \phi (x),\phi '(x)+\delta \phi '(x)\right)}\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{a+\delta a}{F\left(x,\phi (x)+\delta \phi (x),\phi '(x)+\delta \phi '(x)\right)}\,\mathrm {d} x\,$

Již známým způsobem převedeme první integrál na Euler-Lagrangeovu rovnici, tj. rozvineme do Taylorova rozvoje (viz výše) a derivaci variace odstraníme per partes.

Protože v této variaci měníme horní a dolní mez integrálu, nejsou variace δφ na okrajích intervalu již rovny nule!

Přibude tedy povrchový člen za všechny integrály per-partes provedené v odvození E-L rovnice. Poslední dva integrály se v integrační mezi mění jen o veličinu prvního řádu, proto můžeme funkci F považovat na tomto intervalu za konstantní. Tyto úpravy dohromady dají následující tvar:

$\delta S[\phi ]=\int _{a}^{b}{\left({\frac {\partial F(x,\phi |_{x},\phi '|_{x})}{\partial \phi }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F(x,\phi |_{x},\phi '|_{x})}{\partial \phi '}}\right)\delta \phi }\,\mathrm {d} x\,+\left[{\frac {\partial F(x,\phi |_{x},\phi '|_{x})}{\partial \phi '}}\delta \phi \right]_{a}^{b}$

$+F(b,\phi (b),\phi '(b))\delta b-F(a,\phi (a),\phi '(a))\delta a\,$

Symbol $\phi |_{x}$ vyznačuje funkci φ v bodě x - nelze však psát φ(x), neboť v tomto výrazu F není funkcí x, ale funkcí x,φ,φ'. Rozdíl posledních dvou členů se v tomto případě derivací φ jen prvního řádu dá zahrnout do povrchového členu vyšlého z integrování per-partes jako

$\delta S[\phi ]=\int _{a}^{b}{\left({\frac {\partial F(x,\phi |_{x},\phi '|_{x})}{\partial \phi }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F(x,\phi |_{x},\phi '|_{x})}{\partial \phi '}}\right)\delta \phi }\,\mathrm {d} x\,+$

$\left[{\frac {\partial F(x,\phi |_{x},\phi '|_{x})}{\partial \phi '}}\delta \phi \,+F(x,\phi |_{x},\phi '|_{x})\delta x\right]_{a}^{b}$

Variační problém s vazbou

Řešíme problém s funkcionálem

$S[\phi ]=\int _{a}^{b}{F\left(\phi (x),\phi '(x),\dots ,\phi ^{(n)}(x)\right)}\,\mathrm {d} x,\,$

ale připouštíme jen řešení svázaná nějakou podmínkou, např. v integrálním tvaru:

$\int _{c}^{d}{G\left(\phi (x),\phi '(x),\dots ,\phi ^{(n)}(x)\right)}\,\mathrm {d} x=\mathrm {konst.} \,\ \ \ (\spadesuit )$

Potom se problém řeší metodou Lagrangeových multiplikátorů. Problém spočívá v tom, že máme málo volných parametrů: jako příklad můžeme vzít problém hledání prověšení provázku. Pokud bychom hledali funkci vyjadřující průhyb provázku tak, že je upevněn ve dvou bodech a chceme, aby byla potenciální energie nulová, pak (odhlédneme-li od toho, že problém řešení ve tvaru funkce nemá - provázek bude mít snahu se „nekonečně prohnout směrem dolů“) nemáme možnost specifikovat jeho délku. Pokud totiž z řešení Euler-Lagrangeovy rovnice (druhého řádu) vyjdou dvě integrační konstanty, musí se stanovit tak, aby provázek byl ukotven ve dvou krajních bodech. Proto je třeba jeden stupeň volnosti dodat.

Změníme integrační meze podmínky (♠) tak, aby byly rovny a,b (což lze vždy udělat vhodnou substitucí), zavedeme nový funkcionál ve tvaru

${\tilde {S}}[\phi ]=\int _{a}^{b}{F\left(\phi (x),\phi '(x),\dots ,\phi ^{(n)}(x)\right)}\,\mathrm {d} x-\lambda \left(\int _{b}^{a}{G\left(\phi (x),\phi '(x),\dots ,\phi ^{(n)}(x)\right)}\,\mathrm {d} x-C\right)\,$

Povšimněme si, že pro všechny funkce, pro něž je splněna podmínka (♠) je nový funkcionál roven funkcionálu S pro každé λ, neboť jsme k němu jen přičetli nulu.

Nyní stejným postupem jako v první podkapitole přejdeme pro tento funkcionál k Euler-Lagrangeově rovnici, která bude mít tvar

${\frac {\partial F}{\partial \phi }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial \phi '}}+\dots +\lambda \left({\frac {\partial G}{\partial \phi }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial G}{\partial \phi '}}+\dots \right)=0.$

Řešení této rovnice již má příslušný počet volných parametrů.