Základy matematiky/Věty o pravoúhlých trojúhelnících

Pravoúhlý trojúhelník je takový trojúhelník, jehož dvě strany (zvané odvěsny) svírají u jednoho jeho vrcholu úhel 90°.

Existují věty, které se zabývají pravoúhlými trojúhelníky: Pythagorova věta, Euklidovy věty (o odvěsně a o výšce). Ještě se také pravoúhlými trojúhelníky pojí Thaletova kružnice.

Trojúhelník

Trojúhelník vznikne zadáním 3 bodů v rovině tak, že tyto tři body neleží v jedné přímce. Každý trojúhelník má součet svých vnitřních úhlů roven 180°. Strany pravoúhlého trojúhelníku se nazávají přepona (nejdelší strana) a odvěsny (dvě kratší).

Abychom mohli sestrojit trojúhelník, pak musí být splněna trojúhelníková nerovnost.

Trojúhelníková nerovnost je : $|a-b|<c<a+b+CZ\,,$ kde a, b, c, jsou strany trojúhelníku. CZ je cyklická záměna.

Trojúhelníky se dají třídit do různých skupin:

Trojúhelníky dle velikosti stran

různostranný (obecný) Δ

nemá žádné shodné strany,

rovnoramenný Δ

má 2 shodné strany a základnu, u které jsou shodné úhly,

rovnostranný Δ

má všechny strany shodné a jeho vnitřní úhly jsou 60°,

Trojúhelníky dle velikosti úhlů

ostroúhlý Δ

všechny jeho vnitřní úhly jsou ostré (to je od 0°do 90°),

pravoúhlý Δ

jeden jeho vnitřní úhel je pravý (to je 90°),

tupoúhlý Δ

jeden jeho vnitřní úhel je tupý (to je od 90°do 180°).

Pythagorova věta

„Obsah čtverce, který sestrojíme nad přeponou pravoúhlého Δ se rovná součtu obsahů čtverců, které sestrojíme nad oběma odvěsnami pravoúhlého Δ.“

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

kde c je přepona, a, b jsou odvěsny pravoúhlého Δ.

Euklidovy věty

Existují dvě tyto věty, a to Euklidova věta o odvěsně a o výšce.

Euklidova věta o odvěsně

„Obsah čtverce, který sestrojíme nad odvěsnou pravoúhlého Δ, se rovná obsahu obdélníku, jehož strany jsou přepona (c) a úsek na přeponě k odvěsně přilehlé (c_a).“

$a^{2}=c*c_{a}$

kde a je odvěsna, c je přepona, c_a je úsek přepony, který je přilehlý ke straně a.

Euklidova věta o výšce

„Obsah čtverce, který sestrojíme nad výškou pravoúhlého Δ, se rovná obsahu obdélníku, jehož strany jsou úseky na přeponě k odvěsné přilehlé (c_a, c_b).“

$v^{2}=c_{a}*c_{b}$

kde v je výška pravoúhlého Δ, c_a, c_b jsou úseky na přeponě (úsek ca je přilehlý ke straně a, úsek cb je přilehlý ke straně b).

Thaletova kružnice

Je taková kružnice, kterou když sestrojíme ve středu přepony AB, tak získáme body, kde můžeme sestrojit všude Δy a vždy tyto Δy budou pravoúhlé (tedy kromě bodů AB).