Základy matematiky/Vzdálenost bodu od přímky

Tato kniha nebo její část potřebuje úpravy.

Můžete Wikiknihám pomoci tím, že ji vhodně vylepšíte. Inspiraci k vylepšení lze hledat v ostatních knihách, případně na její diskusní stránce.

V rovině (v π ₂)

Vzdálenost bodu A[x_a, y_a] od přímky p v rovině najdeme tak, že nejprve odhalíme souřadnice kolmého průmětu X bodu A na přímku p. Bod X je průsečíkem přímky p a přímky q, která prochází bodem A a je kolmá na p. Proto nejdřív musíme najít přímku q, pro kterou musí platit, že její směrový vektor je normálový vektor přímky p:
Rovnici přímky p upravíme na obecný tvar:

$ax+by+c=0$

Z této rovnice získáme normálový vektor přímky p:

$\mathbf {n} =(a;b)$

Tento normálový vektor je směrovým vektorem přímky q, proto normálový vektor přímky q je:

$\mathbf {u} =(-b;a)$

Takže obecná rovnice přímky q má následující tvar:

$-bx+ay+d=0$

Proměnnou d získáme dosazením souřadnic bodu A do rovnice:

$d=bx_{a}-ay_{a}$

Nyní už jen dořešíme soustavu dvou lineárních rovnic, ze které získáme souřadnice bodu X a tyto souřadnice dosadíme spolu se souřadnicemi bodu A do vzorečku pro vzdálenost dvou bodů v rovině:

$\left|AX\right|={\sqrt {\left(x_{a}-x_{x}\right)^{2}+\left(y_{a}-y_{x}\right)^{2}}}$

Tímto postupem lze získat obecný vzoreček pro vzdálenost bodu od přímky v rovině: $v={\frac {\left|ax_{a}+by_{a}+c\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

V prostoru (v π ₃)

Postup v prostoru je analogický s tím v rovině. Pouze tentokrát nebudeme hledat průsečík přímky p a na ní kolmé přímky q, ale průsečík přímky p a roviny ρ, která je kolmá na p a leží v ní bod A. Rovnici roviny ρ získáme stejným postupem jako předtím, musíme mít pouze na paměti, že přímku v prostoru nelze určit jedinou lineární rovnicí. Vzoreček pro vzdálenost dvou bodů v prostoru je podobný jako v rovině, pouze přibude jeden výraz:

$\left|AX\right|={\sqrt {\left(x_{a}-x_{x}\right)^{2}+\left(y_{a}-y_{x}\right)^{2}+\left(z_{a}-z_{x}\right)^{2}}}$