Úvod do algebry/Řešení soustavy lineárních rovnic
Soustava lineárních rovnic
editovatDefinice: Soustavou lineárních rovnic o neznámých nazýváme množinu rovnic ve tvaru
Čísla jsou koeficienty soustavy. Čísla jsou pravé strany.
Ekvivalentní úpravy
editovatZáklad řešení soustav lineárních rovnic je v tom, že soustavu upravíme (nahradíme) jinou soustavou, která má stejné řešení, ale je jednodušší.
Ekvivalentními úpravami soustavy lineárních rovnic nazýváme úpravy:
- Vzájemná výměna libovolných dvou rovnic soustavy
- Násobení obou stran některé rovnice soustavy nenulovým (!) číslem
- Přičtení násobku některé rovnice soustavy k jiné rovnici soustavy
Je zřejmé, že s pomocí ekvivalentních úprav můžeme z upravené soustavy získat opět původní soustavu:
- Předpokládejme, že soustava A´ vznikla ze soustavy A vzájemnou výměnou i-té a j-té rovnice (podle pravidla 1). Tatáž úprava na rovnici A´ vede opět k A.
- Nyní předpokládejme, že soustava A´ vznikla ze soustavy A násobením i-tého řádku nenulovým číslem (podle pravidla 2). Násobením stejného řádku soustavy A´ číslem získáme zpět soustavu A.
- Konečně, pokud soustava A´ vznikla ze soustavy A přičtením -násobku i-té rovnice k j-té rovnici (je zřejmé, že ), potom přičtení -násobku i-té rovnice soustavy A´ k j-té rovnici soustavy A´ vede zpět k A.
Dvě soustavy lineárních rovnic jsou ekvivalentní soustavy, pokud jednu z nich (je jedno jakou) lze získat z druhé ekvivalentními úpravami.
Věta: Jsou-li dvě soustavy rovnic ekvivalentní, potom mají stejné řešení.