Úvod do algebry/Řešení soustavy lineárních rovnic

Soustava lineárních rovnic

editovat

Definice: Soustavou   lineárních rovnic o   neznámých   nazýváme množinu rovnic ve tvaru

 

 

 

 

 

Čísla   jsou koeficienty soustavy. Čísla   jsou pravé strany.

Ekvivalentní úpravy

editovat

Základ řešení soustav lineárních rovnic je v tom, že soustavu upravíme (nahradíme) jinou soustavou, která má stejné řešení, ale je jednodušší.

Ekvivalentními úpravami soustavy lineárních rovnic nazýváme úpravy:

  1. Vzájemná výměna libovolných dvou rovnic soustavy
  2. Násobení obou stran některé rovnice soustavy nenulovým (!) číslem
  3. Přičtení násobku některé rovnice soustavy k jiné rovnici soustavy

Je zřejmé, že s pomocí ekvivalentních úprav můžeme z upravené soustavy získat opět původní soustavu:

  • Předpokládejme, že soustava A´ vznikla ze soustavy A vzájemnou výměnou i-té a j-té rovnice (podle pravidla 1). Tatáž úprava na rovnici A´ vede opět k A.
  • Nyní předpokládejme, že soustava A´ vznikla ze soustavy A násobením i-tého řádku nenulovým číslem   (podle pravidla 2). Násobením stejného řádku soustavy A´ číslem   získáme zpět soustavu A.
  • Konečně, pokud soustava A´ vznikla ze soustavy A přičtením  -násobku i-té rovnice k j-té rovnici (je zřejmé, že  ), potom přičtení  -násobku i-té rovnice soustavy A´ k j-té rovnici soustavy A´ vede zpět k A.

Dvě soustavy lineárních rovnic jsou ekvivalentní soustavy, pokud jednu z nich (je jedno jakou) lze získat z druhé ekvivalentními úpravami.

Věta: Jsou-li dvě soustavy rovnic ekvivalentní, potom mají stejné řešení.