Válcová soustava souřadnic (cylindrická soustava souřadnic ) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná r {\displaystyle r} ) udává vzdálenost bodu od osy z , druhá souřadnice (označovaná φ {\displaystyle \varphi } ) udává úhel průmětu průvodiče bodu do roviny x y {\displaystyle xy} od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji x {\displaystyle x} ) a třetí souřadnice (označovaná z {\displaystyle z} ) polohu bodu na ose z .
Bod ve válcové soustavě souřadnic. Válcová soustava souřadnic je vhodná pro řešení problémů s válcovou symetrií. Takové mají zpravidla ve válcových souřadnicích podstatně jednodušší tvar.
Transformace válcových souřadnic na kartézské:
x = r cos φ , {\displaystyle x=r\cos {\varphi },}
y = r sin φ , {\displaystyle y=r\sin {\varphi },}
z = z . {\displaystyle z=z.\,} Převod kartézských souřadnic na válcové :
r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
φ = arctg2 ( y , x ) {\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg2} \left(y,x\right)}
z = z , {\displaystyle z=z\,,} kde arctg2(x ,y ) je zobecnění funkce arkus tangens.
Metrické vlastnosti
editovat
Délka infinitesimální úsečky se spočte jako
d s 2 = d r 2 + r 2 d φ 2 + d z 2 , {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \varphi ^{2}+\mathrm {d} z^{2},} tedy délka křivky obecně jako
∫ t 1 t 2 ( d r ( t ) d t ) 2 + r 2 ( d φ ( t ) d t ) 2 + ( d z ( t ) d t ) 2 d t , {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} r(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {\mathrm {d} \varphi (t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t,} kde t je parametr dané křivky a s je její délka od t 1 {\displaystyle t_{1}} do t 2 {\displaystyle t_{2}} .
Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako
d V = r d r d φ d z , {\displaystyle \mathrm {d} V=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z,} takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.
Afinní konexe jsou dány vztahy
Γ r i j = ( 0 0 0 0 − r 0 0 0 0 ) , {\displaystyle {\Gamma ^{r}}_{ij}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-r&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},} Γ φ i j = ( 0 1 r 0 1 r 0 0 0 0 0 ) , {\displaystyle {\Gamma ^{\varphi }}_{ij}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{r}}&0\\{\frac {1}{r}}&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},} Γ z i j = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , {\displaystyle {\Gamma ^{z}}_{ij}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},} kde indexy i ,j probíhají přes hodnoty ( r , φ , z ) {\displaystyle (r,\varphi ,z)} v tomto pořadí.
Diferenciální operátory ve válcových souřadnicích
editovat
∇ f = ∂ f ∂ r r ^ + 1 r ∂ f ∂ φ φ ^ + ∂ f ∂ z z ^ {\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}} ∇ ⋅ A = 1 r ∂ ( r A r ) ∂ r + 1 r ∂ A φ ∂ φ + ∂ A z ∂ z {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={1 \over r}{\partial \left(rA_{r}\right) \over \partial r}+{1 \over r}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}} ∇ × A = ( 1 r ∂ A z ∂ φ − ∂ A φ ∂ z ) r ^ + ( ∂ A r ∂ z − ∂ A z ∂ r ) φ ^ + 1 r ( ∂ ( r A φ ) ∂ r − ∂ A r ∂ φ ) z ^ {\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\left({1 \over r}{\partial A_{z} \over \partial \varphi }-{\partial A_{\varphi } \over \partial z}\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+\left({\partial A_{r} \over \partial z}-{\partial A_{z} \over \partial r}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{1 \over r}\left({\partial \left(rA_{\varphi }\right) \over \partial r}-{\partial A_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {z}}}} Δ f = ∇ 2 f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}} Δ A = ( Δ A r − A r r 2 − 2 r 2 ∂ A φ ∂ φ ) r ^ + ( Δ A φ − A φ r 2 + 2 r 2 ∂ A r ∂ φ ) φ ^ + ( Δ A z ) z ^ {\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\left(\Delta A_{r}-{A_{r} \over r^{2}}-{2 \over r^{2}}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+\left(\Delta A_{\varphi }-{A_{\varphi } \over r^{2}}+{2 \over r^{2}}{\partial A_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\left(\Delta A_{z}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}}