Geometrie/Soustavy souřadnic/Válcová soustava souřadnic

Válcová soustava souřadnic (cylindrická soustava souřadnic) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná $r$) udává vzdálenost bodu od osy z, druhá souřadnice (označovaná $\varphi$) udává úhel průmětu průvodiče bodu do roviny $xy$ od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji $x$) a třetí souřadnice (označovaná $z$) polohu bodu na ose z.

Bod ve válcové soustavě souřadnic.

Válcová soustava souřadnic je vhodná pro řešení problémů s válcovou symetrií. Takové mají zpravidla ve válcových souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Transformace válcových souřadnic na kartézské:

$x=r\cos {\varphi },$

$y=r\sin {\varphi },$

$z=z.\,$

Převod kartézských souřadnic na válcové:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\varphi =\operatorname {arctg2} \left(y,x\right)$

$z=z\,,$

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens.

Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \varphi ^{2}+\mathrm {d} z^{2},$

tedy délka křivky obecně jako

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} r(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {\mathrm {d} \varphi (t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t,$

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od $t_{1}$ do $t_{2}$.

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

$\mathrm {d} V=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z,$

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

${\Gamma ^{r}}_{ij}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-r&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},$

${\Gamma ^{\varphi }}_{ij}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{r}}&0\\{\frac {1}{r}}&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},$

${\Gamma ^{z}}_{ij}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},$

kde indexy i,j probíhají přes hodnoty $(r,\varphi ,z)$ v tomto pořadí.

Diferenciální operátory ve válcových souřadnicích

$\nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}$

$\nabla \cdot \mathbf {A} ={1 \over r}{\partial \left(rA_{r}\right) \over \partial r}+{1 \over r}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}$

$\nabla \times \mathbf {A} =\left({1 \over r}{\partial A_{z} \over \partial \varphi }-{\partial A_{\varphi } \over \partial z}\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+\left({\partial A_{r} \over \partial z}-{\partial A_{z} \over \partial r}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{1 \over r}\left({\partial \left(rA_{\varphi }\right) \over \partial r}-{\partial A_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {z}}}$

$\Delta f=\nabla ^{2}f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}$

$\Delta \mathbf {A} =\left(\Delta A_{r}-{A_{r} \over r^{2}}-{2 \over r^{2}}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+\left(\Delta A_{\varphi }-{A_{\varphi } \over r^{2}}+{2 \over r^{2}}{\partial A_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\left(\Delta A_{z}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}$