Geometrie/Vzájemná poloha dvou přímek

Rovnoběžky p1 a p2.
Různoběžky p1 a p2 s průsečíkem P.
Mimoběžky p1 a p2.

V roviněEditovat

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom boděprůsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Algebraické řešeníEditovat

Mějme dvě přímky v rovině dané směrnicovými rovnicemi

 
 

popř. obecnými rovnicemi

 
 

Dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné, pokud mají stejné směrnice. Jsou-li tedy dvě přímky zadány směrnicovými rovnicemi, pak podmínka rovnoběžnosti má tvar

 

Jsou-li přímky zadány obecnými rovnicemi, pak podmínku rovnoběžnosti lze vyjádřit pomocí determinantu jako

 


Přímky zadané rovnicemi směrnicovými rovnicemi jsou kolmé, pokud jejich směrnice splňují podmínku  , kterou obvykle zapisujeme jako

 

Rovnice zadané v obecném tvaru jsou kolmé pokud splňují podmínku

 


Průsečík dvou přímek zadaných směrnicovými rovnicemi získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

 
 

Podobně pro průsečík přímek zadaných obecnými rovnicemi dostaneme

 
 

Z předchozích vztahů je vidět, že pokud je splněna podmínka rovnoběžnosti, tak přímky jsou rovnoběžné a nemají tedy průsečík.


Odchylka   dvou různoběžných přímek zadaných směrnicovými rovnicemi je pro   dána vztahem

 

Jsou-li rovnice zadány obecnými rovnicemi, pak pro odchylku dostáváme

 

pro  .

V prostoruEditovat

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Poloha přímek v rovině je speciálním případem polohy přímek v prostoru.

Algebraické řešeníEditovat

Dvě přímky zadané obecnými rovnicemi tvoří soustavu

 
 
 
 

Tyto dvě přímky se protínají v jednom bodě právě tehdy, když platí

 

Máme-li dvě přímky vyjádřené vztahy

 
 
 
 

Pak podmínku, aby se tyto přímky proťaly lze zapsat

 

Pro souřadnice průsečíku pak platí

 
 
 

Pokud se takové přímky protínají, pak jejich odchylku   určíme jako

 

Podmínku rovnoběžnosti přímek lze pak vyjádřit jednoduchými vztahy   a  . Přímky jsou kolmé, je-li splněna podmínka  .


Mějme přímky vyjádřeny rovnicemi

 
 

Odchylka těchto přímek se určí jako

 

Podmínku rovnoběžnosti takovýchto přímek lze zapsat rovnicemi  . Podmínku kolmosti lze vyjádřit jako  .

Vzdálenost   dvou mimoběžných přímek udává vztah

 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat

Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi