Integrování/Metoda Per Partes

Důležitou metodou při výpočtu integrálů je metoda per partes (česky „po částech“). Tato metoda pomáhá integrovat součiny dvou (a více) funkcí (na základě věty o derivaci součinu) a rozložit je na nový integrál, pro nás snadněji integrovatelný (při správném použití).

Formální zápis metody a důkaz editovat

Pokud mají funkce   a   spojité derivace na intervalu   (tedy jsou i samy spojité), pak na intervalu   platí:

 
 

Důkaz editovat

  (věta o derivaci součinu)
 
 
  (záměnou   získáme i druhou podobu metody)

Příklady výpočtu editovat

Zadání
Vypočítejte integrál z funkce  .
Řešení
Za derivovanou funkci si dosadíme fci  , za zderivovanou fci pak   neboť  
Výpočet
 

Pokud bychom zvolili funkce naopak, dostali bychom se ke tvaru

 

takže je důležité, které funkce zvolíte.


Zadání
Vypočítejte integrál z funkce  .
Řešení
Za derivovanou funkci budeme volit funkci  , neboť se jí takto postupně zbavíme, pokud bychom zvolili funkci  , pouze by se nám cyklicky zaměnovala a nic bychom tím nezískali.
Výpočet
 
 

Metodu per partes jsme v tomto případě museli použít dvakrát.


Zadání
Vypočítejte integrál z funkce  .
Řešení
V tomto případě je jedno jak zvolíme funkce, ale je např. příjemnější zvolit za derivovanou fci  , neboť se tak vyhneme znamínkové změně.
Výpočet
 
 
 
 

Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.