Lineární algebra/Báze a dimenze

Definice: Množinu vektorů $v_{1},\ldots ,v_{n}$ prostoru $V$ nazveme linárně nezávislou pokud $0=\sum _{i=1}^{n}\nolimits {a_{i}\cdot v_{i}}$ implikuje $a_{1}=\ldots =a_{n}=0$. Množinu vektorů, která není lineáně nezávislá, nazveme množinou lineárně závislou, tj. existuje index $i'$ tak, že $a_{i'}\neq 0$ a zároveň $0=\sum _{i=1}^{n}\nolimits {a_{i}\cdot v_{i}}$.

Definice: Báze je lineárně nezávislá množina generátorů.

Věta: Každý vektor vektorového prostoru jde vyjádřit jako lineární kombinace vektorů báze a to právě jedním způsobem.

Důkaz:

Věta: Všechny báze daného vektorového prostoru mají stejný počet prvků.

Důkaz:

Definice: Dimenze vektorového prostoru je počet prvků (libovolné) báze.