Lineární algebra/Matice/Frobeinova věta

Věta (Frobeinova): Nehomogenní soustava má alespoň jedno řešení právě tehdy, má-li matice soustavy a rozšířená matice soustavy stejnou hodnost.

Důkaz: Soustava má řešení tehdy a jen tehdy je-li vektor pravých stran lineární kombinací sloupců matice soustavy, tedy tehdy a jen tehdy, leží-li v prostoru generovaném sloupci matice. Pokud tedy bude, jeho přidáním v rozšířené matici se nemůže zvýšit hodnost. Pokud se tak stane, je lineárně nezávislý k sloupcovým vektorů a řešení jistě neexistuje.