Logika/Konjunkce

Tato stránka je optimalizovaná pro zobrazení fontem STIX.

Souvětí se spojkou „a“

∧

V předcházející kapitole jsme se seznámili s výroky a jejich pravdivostními hodnotami. Víme tedy, že výrok je nějaká věta. Věty mohou být jednoduché, nebo složené z více vět do souvětí. Věty v souvětí bývají spojené spojkami. Často používanou spojkou je spojka „a“. Např. souvětí „Prší a kvete bez“ je složeno ze dvou vět, z věty „Prší“ a věty „Kvete bez“, které jsou spojeny spojkou „a“. Otázkou nyní je, jak spolu souvisí pravdivostní hodnoty souvětí a vět, ze kterých je složeno? Jsou čtyři možnosti:

1. prší a kvete bez: „Prší a kvete bez“ je pravda
2. prší a nekvete bez: „Prší a kvete bez“ je lež
3. neprší a kvete bez: „Prší a kvete bez“ je lež
4. neprší a nekvete bez: „Prší a kvete bez“ je lež

Pravdivostní hodnotu souvětí dvou vět s pravdivostními hodnotami 𝑝 a 𝑞, spojenými spojkou „a“ označíme 𝑝∧𝑞. Kromě znaménka ∧ se používá i anglické AND, latinské ET případně &. Protože hodnota 𝑝∧𝑞 odpovídá součinu 𝑝 a 𝑞, používá se pro tuto operaci i název logický součin a značí se 𝑝⋅𝑞 nebo jen zkráceně 𝑝𝑞. Zápisy 𝑝 ∧ 𝑞, 𝑝 AND 𝑞, 𝑝 ET 𝑞, 𝑝 & 𝑞, 𝑝 ⋅ 𝑞 a 𝑝𝑞 jsou tedy stejné.

Pravdivostní hodnoty konjunkce

Operace ∧ se nazývá konjunkce a pro její pravdivostní hodnoty platí:

• 𝙾∧𝙾 = 𝙾⋅𝙾 = 𝙾
• 𝙾∧𝙸 = 𝙾⋅𝙸 = 𝙾
• 𝙸∧𝙾 = 𝙸⋅𝙾 = 𝙾
• 𝙸∧𝙸 = 𝙸⋅𝙸 = 𝙸

Můžeme to zapsat i do pravdivostní tabulky:

𝑝	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸
𝑞	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸
𝑝∧𝑞	𝙾	𝙾	𝙾	𝙸

Vlastnosti konjunkce

𝑝 ∧ 𝑞 = 𝑞 ∧ 𝑝

Této vlastnosti se říká komutativita. Např. souvětí „Prší a kvete bez“ má stejnou pravdivostní hodnotu jako „Kvete bez a prší“.

𝙾 ∧ 𝑝 = 𝙾

Je-li jedna z vět konjunkce lež, je výsledek lež.

𝙸 ∧ 𝑝 = 𝑝

Je-li jedna z vět konjunkce pravda, je pravdivostní hodnota výsledku rovna pravdivostní hodnotě druhé věty.

𝑝 ∧ 𝑝 = 𝑝

Opakováním věty se její pravdivost nemění. Stokrát opakovaná lež zůstává lží. Např. souvětí „Prší a prší“ má stejnou pravdivostní hodnotu jako obyčejné „Prší“.

Další Booleovou operací je Disjunkce.