Logika/Výrok

Tato stránka je optimalizovaná pro zobrazení fontem STIX.

Úvod do výrokové logiky

Prší. Emmanuel Kwizera

V současné době jsme zahrnuti obrovským množstvím informací zejména z Internetu a dalších médií. Tyto informace získáváme prostřednictvím oznamovacích vět. Příkladem takových vět je: „Když prší, je mokro.“ nebo „Buď je mokro, nebo je sucho.“ Některým získaným větám věříme více, jiným méně, a podle toho věty hodnotíme. Základní možností je dělit věty na pravdivé – pravdy a nepravdivé – lži. Uvedené věty budeme nejspíše považovat za pravdy. Naopak větu „Když prší, je sucho.“ považujeme za lež. Pravdy a lži budeme souhrnně nazývat výroky. Nečekejme od logiky, že nám odhalí všechny pravdy. V našem příkladu ani to, zda prší. Ale z logiky vyplývá, také se říká, že je logické, že když přijmeme některé výroky za pravdu, další výroky jsou pravdivé také. Například výrok „Když je sucho, neprší.“.

Shrneme-li předchozí úvahy můžeme říci: „Buď je mokro, nebo je sucho. Když prší, je mokro. Je tedy logické, že když je sucho, neprší.“ Jiná podobná věta: „Když je mokro, prší.“ však logická kupodivu není. A skutečně to může být lež, například po dešti. To by nás mohlo vést k přidání dalšího výroku mezi pravdy a to: „Když je mokro a neprší, je po dešti.“ Jenže pozor na věc! Asi budeme souhlasit, že „Když projede kropicí vůz, je mokro.“ Pak je ale logické, že „Když projede kropicí vůz a neprší, je po dešti.“ Ale jak může být po dešti, když třeba vůbec nepršelo? Inu o tom je logika. A ta nám nyní říká, že výrok „Když je mokro a neprší, je po dešti.“ není asi úplně v pořádku.

Pokud jste dočetli až sem a cítíte se ztraceni, je nejvyšší čas začít se zabývat logikou, která je spolehlivým průvodcem ve spletitém světě pravd a lží, čili výroků.

Pravdivostní hodnoty

𝙸 𝙾

Věty hodnotíme podle jejich pravdivosti. K tomu potřebujeme mít nějakou ohodnocovací funkci, označme si ji P, která větám přiřazuje pravdivostní hodnoty. Věty, které mají přiřazenu pravdivostní hodnotu, nazýváme výroky. Je-li 𝑥 výrok, můžeme psát 𝑥→P(𝑥), což znamená, že výroku 𝑥 přiřazujeme pravdivostní hodnotu P(𝑥). Ponechme nyní stranou odkud se berou výroky a kolik jich vůbec je a zaměřme se na pravdivostní hodnoty. Tedy kolik pravdivostních hodnot potřebujeme? Jednu, abychom mohli vůbec něco přiřadit. Jenže pak bychom nedokázali rozlišit pravdu a lež, a bylo by nám vše doslova jedno. Takže dvě hodnoty, jednu pro pravdy a druhou pro lži. Logika pracující se dvěma pravdivostními hodnotami se nazývá dvouhodnotová logika. Tyto hodnoty obvykle značíme 𝙸 a 𝙾 a čteme logická jednička a logická nula. Je-li 𝑥 pravda, P(𝑥)=𝙸. Je-li 𝑥 lež, P(𝑥)=𝙾. Pravdivostní hodnoty výroků obvykle zapisujeme do pravdivostní tabulky:

𝑥	P(𝑥)
Když prší, je mokro.	𝙸
Buď je mokro, nebo je sucho.	𝙸
Když je mokro a neprší, je po dešti.	𝙾

Další možnosti značení pravdivostních hodnot jsou uvedeny v následující tabulce:

pravda	𝙸	𝚃	𝙷	☒
lež	𝙾	𝙵	𝙻	□

Pravdivostní tabulky mohou mít více sloupců, zejména když potřebujeme zapsat všechny možnosti.

	a	b	c	d
Prší.	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸
Je mokro.	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸

Sloupec a znamená, že neprší ani není mokro. Sloupec b znamená, že neprší, ale je mokro. Sloupec c znamená, že prší, ale není mokro. Sloupec d znamená, že prší a je mokro.

Jen krátce se zmíníme o vícehodnotových logikách. Často se stává, že některé hodnoty v praxi neznáme. Pak se může hodit tříhodnotová logika s pravdivostními hodnotami true, false a null. Další možností je pravděpodobnostní logika využívající procenta:

𝑥	P(𝑥)
Když prší, je mokro.	80 %
Buď je mokro, nebo je sucho.	99 %
Když je mokro a neprší, je po dešti.	60 %

Nejdříve se však důkladně seznamme s klasickou dvouhodnotovou logikou.

Booleovy proměnné

George Boole

𝑝 𝑞 𝑟

Proměnné, které mohou nabývat pouze hodnot 𝙸 a 𝙾, budeme na počest George Boolea nazývat Booleovy proměnné a značit 𝑝, 𝑞, 𝑟… S těmito proměnnými lze provádět operace podle pravidel takzvané Booleovy algebry. Zápis „Prší.“→𝑝 znamená, že P(„Prší.“)=𝑝, tedy že pravdivostní hodnota výroku „Prší.“ je 𝑝. Použijeme-li Booleovy proměnné můžeme tabulku:

Prší.	𝙾	𝙾	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	𝙸
Kvete bez.	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸
Rostou houby.	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸

zkrátit na

𝑝	𝙾	𝙾	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	𝙸
𝑞	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸
𝑟	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸

kde „Prší.“→𝑝, „Kvete bez.“→𝑞 a „Rostou houby.“→𝑟.

Základními operacemi Booleovy algebry jsou konjunkce, disjunkce a negace s nimiž se nyní seznámíme.