Integrování/Posuvy a násobky argumentu

Často potřebujeme spočítat integrál, který se velmi podobá integrálu, který již máme spočtený, ale přesto se v pár drobnostech liší. Pokud máme jistotu, že se počítaný integrál liší od již známého pouze v argumentu, můžeme onen spočtený integrál výhodně použít. Metoda je speciální aplikací substituční metody.

Formální zápis metody a důkaz

Mějme funkci f(x), jejíž primitivní funkce je F(x), pak můžeme vypočítat integrál z f(ax+b) takto:

$\int {f(ax+b)}dx={\frac {F(ax+b)}{a}}+C$

Důkaz:

$\int {f(ax+b)}dx=\left[Substituce:y=ax+b,x={\frac {y-b}{a}},dx={\frac {dy}{a}}\right]=\int {\frac {f(y)}{a}}dy={\frac {1}{a}}\int {f(y)}dy={\frac {F(y)}{a}}+C={\frac {F(ax+b)}{a}}+C$

QED

Pokud se v integrovaném výrazu vyskytne více proměnných $x$, pak musí být všechny posunuty a znásobeny stejně oproti známému integrálu.

Integrál od kterého známe výsledek: $\int {\log {(3x)}+{\frac {e^{18x}}{2x}}}dx=\int {f(x)}dx$.

Integrál na který můžeme použít metodu: $\int {\log {(6x+3)}+{\frac {e^{36x+18}}{4x+2}}}dx=\int {f(2x+1)}dx$.

Integrál na který nemůžeme použít metodu: $\int {\log {(6x+3)}+{\frac {e^{6x+9}}{30x-3}}}dx$ - metodu nemůžeme použít, protože je každý výskyt $x$ posunutý a znásobený o jinou konstantu.

Ukázka použití metody

Příklad č. 1

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $(12x+3)^{4}$.

Řešení: Vidíme, že funkce $(12x+3)^{4}$ je vlastně $z^{4}$ kde $z=12x+3$. Pak $\int {z^{4}}dz={\frac {z^{5}}{5}}+C$. Výsledkem je tedy ${\frac {\left(12x+3\right)^{5}}{5}}+C$

Příklad č. 2

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce ${\sqrt {2x-8}}$.

Řešení: Funkce ${\sqrt {2x-8}}$ se dá zapsat jako ${\sqrt {y}}$ kde $y=2x-8$. Protože $\int {\sqrt {y}}{\frac {dy}{2}}={\frac {1}{2}}*\int {y^{\frac {1}{2}}}dy={\frac {2*y^{\frac {3}{2}}}{6}}+C$, tak je výsledkem ${\frac {2\left(2x-8\right)^{\frac {3}{2}}}{6}}+C={\frac {\left(2x-8\right)^{\frac {3}{2}}}{3}}+C$.

Příklad č. 3

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $\cos {(-x+5)}$.

Řešení: Funkce $\cos {(-x+5)}$ se dá zapsat jako $\cos {w}$ kde $w=(-1)x+5$. Protože $\int {\cos {y}}(-dy)=-\sin {y}+C$, tak je výsledkem $-\sin {(-x+5)}+C$.