Integrování/Substituční metoda

Jedna ze tří základních metod výpočtu integrálů se nazývá substituční metoda. Tato metoda využívá vhodné záměny výrazu, který integruji, za jiný, snadněji integrovatelný. Speciálním případem této metody jsou pak metody posuvu a násobku argumentu a metoda "vidím derivaci".

Formální zápis metody a důkaz

1. věta o substituci: Nechť $F$ je primitivní k $f$ na $(a;b)$. Nechť $\varphi$ je definovaná na $(\alpha ;\beta )$, $\varphi :(a;b)\rightarrow (\alpha ;\beta )$ (s hodnotami v $(\alpha ;\beta )$). Navíc nechť existuje $\varphi '(t)$ vlastní pro každé $t\in (\alpha ;\beta )$. Potom

$\int {f(\varphi (t))\varphi '(t)}\,{\rm {d}}t=F(\varphi (t))+c,\,t\in (\alpha ;\beta )$

2. věta o substituci: Nechť funkce $\varphi$ má v každém bodě intervalu $(\alpha ;\beta )$ vlastní derivaci, která je buď všude kladná, nebo záporná, a $\varphi ((\alpha ;\beta ))=(a;b)$. Nechť funkce $f$ je definovaná na intvervalu $(a;b)$ a platí

$\int {f(\varphi (t))\varphi '(t)}\,{\rm {d}}t=G(t)+c,\,t\in (\alpha ;\beta )$.

Pak

$\int {f(x)}\,{\rm {d}}x=G(\varphi ^{-1}(x))+c,\,x\in (a;b)$.

Příklady výpočtu

Příklad 1 Substitucí převedeme integrál z odmocniny na integrál hyperbolické funkce.

$\int \!{\sqrt {x^{2}+1}}\,{\rm {d}}x={\begin{vmatrix}x=\varphi (t)=\sinh t\\\varphi '(t)=\cosh t\end{vmatrix}}=\int \!{\sqrt {\sinh ^{2}t+1}}\,\cdot \,\cosh t\,{\rm {d}}t=\int \!\cosh ^{2}t\,{\rm {d}}t=$

$={\frac {1}{4}}\int \!(e^{t}+e^{-t})^{2}\,{\rm {d}}t={\frac {1}{4}}\int \!(e^{2t}+2+e^{-2t})\,{\rm {d}}t={\frac {1}{8}}e^{2t}+{\frac {1}{2}}t-{\frac {1}{8}}e^{-2t}+c$