Logika/Negace
Tato stránka je optimalizovaná pro zobrazení fontem STIX.
Zápor
editovatDosud jsme se setkali s konjunkcí a disjunkcí dvou vět. Teď je na řadě obrat „Není pravda, že …“. Např. souvětí „Není pravda, že prší“ obvykle zkracujeme pomocí záporu na „Neprší“. Pravdivostní hodnoty kladné a záporné věty jsou opačné. To znamená, že jedna z vět je pravda a druhá je lež. Nevíme však, která je která.
Spojení věty „Není pravda“ s větou 𝑝 pomocí spojky „že“ říkáme negace. I pro negaci máme zvláštní značku a to ¬, kterou píšeme před negovanou větu. Např. ¬𝑝 značí negaci věty 𝑝. Jiné značení vychází z anglického NOT, latinského NON případně matematického pruhu nad negovanou větou. Zápisy ¬𝑝, NOT 𝑝, NON 𝑝 a jsou tedy stejné.
Pravdivostní tabulka
editovatPravdivostní tabulka negace vypadá následovně
𝑝 | 𝙾 | 𝙸 |
---|---|---|
¬𝑝 | 𝙸 | 𝙾 |
Zákon negace negace
editovatPoužijeme-li negaci dvakrát, dostáváme větu typu: „Není pravda, že není pravda, že prší“. Jaká je její pravdivostní hodnota? Sestavíme si tabulku pravdivosti.
𝑝 | 𝙾 | 𝙸 | Prší | ||
---|---|---|---|---|---|
¬𝑝 | 𝙸 | 𝙾 | Není pravda, že prší | Neprší | |
¬¬𝑝 | 𝙾 | 𝙸 | Není pravda, že není pravda, že prší | Není pravda, že neprší | Prší |
Pravdivostní hodnoty dvojité negace jsou stejné jako pravdivostní hodnoty původní věty. To můžeme stručně zapsat jako ¬¬𝑝=𝑝.
Prší, nebo neprší?
editovatPoložíme-li logikovi otázku „Prší, nebo neprší?“, odpoví „Ano“, aniž by se podíval z okna. A ještě ke všemu bude mít pravdu. Čím to?
Zkoumejme nyní souvětí složená z kladné a jí odpovídající záporné věty. Jako vždy si sestavíme pravdivostní tabulku.
𝑝 | 𝙾 | 𝙸 | Prší |
---|---|---|---|
¬𝑝 | 𝙸 | 𝙾 | Neprší |
𝑝⊻¬𝑝 | 𝙸 | 𝙸 | Prší, nebo neprší |
𝑝∨¬𝑝 | 𝙸 | 𝙸 | Prší nebo neprší |
𝑝∧¬𝑝 | 𝙾 | 𝙾 | Prší a neprší |
A z tabulky vidíme, že použijeme-li ke spojení spojku „nebo“ dostaneme vždy pravdu, ať už prší nebo ne. Při použití spojky „a“ dostáváme vždy lež. Můžeme si to zapsat takto: 𝑝⊻¬𝑝=𝙸, 𝑝∨¬𝑝=𝙸 a 𝑝∧¬𝑝=𝙾.
De Morganova pravidla
editovatJak negovat konjunkci a disjunkci? Sestavíme pravdivostní tabulku tentokrát pro dva výroky, tedy se čtyřmi sloupci pravdivostních hodnot.
𝑝 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙸 | Prší |
---|---|---|---|---|---|
𝑞 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | Kvete bez |
¬𝑝 | 𝙸 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙾 | Neprší |
¬𝑞 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙾 | Nekvete bez |
𝑝∧𝑞 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙸 | Prší a kvete bez |
𝑝∨𝑞 | 𝙾 | 𝙸 | 𝙸 | 𝙸 | Prší nebo kvete bez |
¬(𝑝∧𝑞) | 𝙸 | 𝙸 | 𝙸 | 𝙾 | |
¬(𝑝∨𝑞) | 𝙸 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙾 | |
¬𝑝∨¬𝑞 | 𝙸 | 𝙸 | 𝙸 | 𝙾 | Neprší nebo nekvete bez |
¬𝑝∧¬𝑞 | 𝙸 | 𝙾 | 𝙾 | 𝙾 | Neprší a nekvete bez |
Z takulky je patrné, že ¬(𝑝∧𝑞)=¬𝑝∨¬𝑞 a ¬(𝑝∨𝑞)=¬𝑝∧¬𝑞, což jsou hledaná De Morganova pravidla. Negací konjunkce je disjunkce negací. Negací disjunkce je konjunkce negací.
Pokračovat budeme kapitolou o implikaci.